വട്ടം കറക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ

കുട്ടികളേ, നിങ്ങൾക്ക് ഏവർക്കും സുപരിചിതമായ ഒന്നല്ലേ ‘jigsaw puzzle’ എന്ന കളി? ഒരു ചിത്രത്തെ കുറേ കക്ഷണങ്ങളായി മുറിച്ച് ക്രമം തെറ്റിച്ച് അടുക്കിപ്പരത്തി വച്ചു എന്നു കരുതുക. അതു പഴയപോലെ ആക്കുക എന്നതാണ് കളി. ഇതത്ര എളുപ്പമല്ല‌, പ്രത്യേകിച്ച് ആ ചിത്രം എന്തായിരുന്നു എന്നറിയാത്ത ഒരാൾക്ക്. ചെറിയ കുട്ടികളുടെ പ്രിയ വിനോദം ആണ് ഇതെങ്കിൽ, കുറച്ചു കൂടി മുതിർന്ന കുട്ടികൾക്കിഷ്ടം വേറൊന്നാണ്. കേട്ടിട്ടുണ്ടാവും, ‘റുബിക്സ് ക്യൂബ്’ എന്നാണിതിന്റെ പേര്. 6 മുഖങ്ങളും വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളിലുള്ള ഒരു ക്യൂബിനെ 27 ചെറിയ ക്യൂബുകളായി മുറിച്ച് ക്രമം തെറ്റി അടുക്കിവച്ചത് വീണ്ടും പഴയപോലെ ആക്കുക എന്നതാണു ദൗത്യം. ലോകത്ത് ഏറ്റവും പ്രചാരമേറിയ കളികളിലൊന്നാണിത്. അതേ സമയം ജിഗ്സോ പസിലിനെ അപേക്ഷിച്ച് ഒരൽപം ശ്രമകരമാണിത്. ഇതുപോലെ പ്രചാരം നേടിയ ഗണിത കളിയാണു ‘sudoku’. വരികളിലും നിരകളിലും ഒരേ തുക വരുന്ന രീതിയിൽ 1 മുതൽ 9 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ എഴുതി നിറക്കുക എന്നതാണ് ഇതിന്റെ രീതി. അതിനായി സമചതുരാകൃതിയിലുള്ള കളങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുക. രസകരവും വിജ്ഞാനപ്രദവുമായ മറ്റൊരു കളിയാണ് കള്ളികളിൽ അക്ഷരങ്ങൾ ചേർത്തുവച്ച് വാക്കുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്ന ‘ക്രോസ് വേഡ്’. ഒരേ സമയം നേരമ്പോക്കായും മാനസിക ശേഷി വർധിക്കാനുള്ള ഉപാധിയായും ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളെ ഉപയോഗപ്പെടുത്താം. വ്യക്തികളുടെ മാനസിക ശേഷി പരീക്ഷിക്കുന്നതോ പരിഹരിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതോ കൗതുകമുണർത്തുന്നതോ ആയ വിവിധ തരം പ്രശ്നങ്ങളെയാണ്  puzzles അഥവാ സമസ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. Enigmatology എന്നൊരു പഠനശാഖ തന്നെയുണ്ട് ഇതിന്.

ഇന്നു ചില ഗണിത സമസ്യകൾ പരിചയപ്പെടാം. ഒരു പക്ഷേ നമ്മുടെ നിത്യജീവിതവുമായി ബന്ധമുള്ള ഒന്നിൽനിന്ന് തന്നെ തുടങ്ങാം. ഒരു പാൽ വിൽപനക്കാരന്റെ കയ്യിൽ 2 അളവുപാത്രങ്ങളുണ്ട്, 3 ലീറ്ററിന്റെയും 5 ലീറ്ററിന്റെയും. ഒരാൾക്ക് ഒരു ലീറ്റർ പാൽ വേണമെങ്കിൽ അയാൾ എങ്ങനെ അളന്നു കൊടുക്കും? ഉത്തരം ലളിതം. 3L‍ പാത്രം നിറച്ച് പാലെടുത്ത് 5L പാത്രത്തിലൊഴിക്കുക. തുടർന്ന് വീണ്ടും നിറച്ച് ഒന്നു കൂടി ഒഴിക്കുക. അതോടെ 5 ലീറ്റർ പാത്രം നിറയും, പക്ഷേ ഒരു ലീറ്റർ ആദ്യ പാത്രത്തിൽ ബാക്കിയുണ്ടാകും. സമാനമായ മറ്റൊരു ചോദ്യം കൂടി. വേറൊരാൾക്ക് 4 ലീറ്റർ പാൽ വേണമെങ്കിലോ?. ഇത്തവണ ഒരു കാര്യമുണ്ട്, രണ്ട് തവണയായി നിറയ്ക്കരുത്. ഒറ്റത്തവണ ഒഴിക്കുമ്പോൾ തന്നെ ആവശ്യം നിറവേറണം. എന്താണ് വഴിയെന്നു കൂട്ടുകാർ തന്നെ കണ്ടെത്തൂ...

സത്യത്തിൽ പല ഗണിത സമസ്യകളും നമ്മുടെ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ ഒളിഞ്ഞിരിക്കുന്നുണ്ട്. ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. ഒൻപതാം ക്ലാസിലെ സമവാക്യ ജോഡികൾ എന്ന പാഠം വായിക്കുക. ‘രണ്ട് സംഖ്യകളുണ്ട്, അവയുടെ തുക 321, വ്യത്യാസം 123 ആണെങ്കിൽ ആ സംഖ്യകൾ ഏതെന്ന് പറയാമോ ?’. കുറച്ച് കൂടി ചെറിയ സംഖ്യകളായിരുന്നെങ്കിൽ നന്നായിരുന്നു എന്ന് ആലോചിച്ച് നിൽക്കുന്നവരോട് പറയട്ടേ, ഇത് എളുപ്പമാണ്. ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളും തമ്മിൽ കൂട്ടി പകുതി ആക്കിയാൽ കിട്ടും നമ്മുടെ ആദ്യ ഉത്തരം. അവ തമ്മിൽ കുറച്ച് പകുതിയാക്കിയാൽ കിട്ടും അടുത്തത്. ഇതുപോലെ പല സമസ്യകൾക്കും പുറകിൽ ചില ട്രിക്കുകൾ ഉണ്ട്. അന്വേഷിച്ചു ചെന്നാൽ അവ ചില ഗണിത തത്വങ്ങളിൽ എത്തിനിൽക്കും. ഈ ചോദ്യത്തിലെ‍ സംഖ്യകൾ x, y എന്ന് സങ്കൽപിച്ചാൽ , x+y = 321 , x-y = 123 എന്നതാണ് ചോദ്യത്തിൽ പറയുന്നത് എന്ന് കാണാം. സമവാക്യങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ 2x = 444 എന്നും , കുറച്ചാൽ 2y = 198 എന്നും കിട്ടും. അതായത് 222, 99 എന്നിവയാണ് ആ സംഖ്യകൾ.

വൃത്തങ്ങളുടെ ആരം r എന്നു സങ്കൽപിക്കുക. അതായത് AQ = QB = r. ഈ പെട്ടിയുടെ നീളം XY = 4r ആയിരിക്കും എന്ന് ഒറ്റ നോട്ടത്തിൽ പറയാം . വീതി എന്നത് PR എന്ന വരയുടെ നീളമാണ്. അതാണെങ്കിൽ PC+CQ+QR എന്ന് പറയാം. ഇതിൽ PC യുടെയും QRന്റെയും നീളം r ആണ്. ഇനി കാണേണ്ടത് CQ ആണ്. അതിനുവേണ്ടി വൃത്ത കേന്ദ്രങ്ങളെ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക. അതൊരു സമഭുജത്രികോണമായിരിക്കില്ലേ...? അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം 2r വീതം ആണ് എന്നുകാണാം. അതിന്റെ ഉയരമാണ് നമുക്കു വേണ്ടത്. ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരമെന്നത് വശത്തിനെ 3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതിയെന്ന് അറിയാമല്ലോ ? അങ്ങനെയെങ്കിൽ CQ = (2r) x (3 /2) = 3r എന്ന് കിട്ടും. അതായത് ഈ ചതുരത്തിന്റെ വീതി 3r + 2r എന്ന് കിട്ടും.

കൊച്ചു കൂട്ടുകാർക്ക് വേണ്ടി, ലളിതമായ മറ്റൊരു കണക്ക് പറഞ്ഞ് അവസാനിപ്പിക്കാം. ഒരു കുളത്തിൽ താമരപ്പൂക്കൾ നിറഞ്ഞു നിൽക്കുന്നു. പറന്നെത്തിയ കിളിക്കൂട്ടം ക്ഷീണമകറ്റാൻ അവയിലിരുന്നു. ഒരു താമരയിൽ ഒരു കിളി വീതം ഇരുന്നപ്പോൾ, ഒരു കിളിക്ക് ഇടമില്ലാതായി. രണ്ടെണ്ണം വീതം ഇരുന്നപ്പോൾ ഒരു താമരയിൽ കിളിയുമില്ലാതായി. എങ്കിൽ പറയൂ, എത്ര കിളിയും എത്ര താമരയുമുണ്ട് ? താമരയുടെ എണ്ണം x എന്നെടുത്താൽ, കിളികളുടെ എണ്ണം x+1 ആണെന്ന് ചോദ്യത്തിലെ ആദ്യ സൂചനയിൽ നിന്ന് വ്യക്തം. രണ്ടാം സൂചനയും ചേർത്ത് വായിക്കുമ്പോൾ 3 താമരയും 4 കിളികളുമാണെന്ന് മനസ്സിലാകും. ഇതുപോലെ പല നിലവാരത്തിലുള്ള പസിലുകൾ ഇന്റർനെറ്റിൽ തിരഞ്ഞാൽ ലഭ്യമാണ്. ഗണിതമേളകളിൽ ഇവ അവതരിപ്പിച്ച് സമ്മാനം വാങ്ങാൻ മറക്കരുതേ.

Content Highlight -  Math problems | Puzzle games | Jigsaw puzzle | Rubik's cube |  Mental capacity | Padhippura